大自然的成長密碼（1)

Nixon帶你玩數學

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大家好！我會在這專欄和你們分享一些重要而且有趣的數學知識，希望幫到即將應考 DSE 的同學之餘亦能讓更多家長及朋友發現數學其實可以很有趣、甚至「幾好玩」！

連續三期分享了 DSE 數學考試的解題技巧，今次和大家分享一些別的。首先看看這何數列：

0, 1, 1, 2, 3 , 5, 8, 13, 21, 34, 55……

應該不難發現這個數列因循以下規律：

「由 0 和 1 開始，之後任何一個數字都是它的前兩個數字之和。」例如 13 ＝8 ＋5。數學的表達式為：

這就是在 HKDSE 考試範圍中沒有列明會考（但2014及2018年都偷偷地「致敬」過），在數學界非常有名的 Fibonacci Numbers 費波那契數（意大利語：Successione di Fibonacci）。相關概念首次在有紀錄的文獻中出現可追溯到公元1150年的印度，而已首位具體描述及研究這個數列的是公元1202年 來自意大利的數學家 費波那契，又稱比薩的列奧納多／比薩的列奧納多·波那契／列奧納多·波那契／列奧納多·費波那契（Leonardo Pisano／Leonardo Pisano Bigollo／Leonardo Bonacci／Leonardo Fibonacci）。題外話， Fibonacci 是「Bonacci 之子」的意思，Bonnacci 是他父親 Guilielmo 的外號，所以 Fibonacci 既不是這位數學家的名字，似乎亦不是他的姓氏。可今天不是談歷史人物，讓我們重回正題。

這個數列的原理十分簡單，就是前兩個數加起來成為下一個。而出乎意料地（或者說毫不意外地？）在自然界廣泛地「被使用」。很多植物的葉、籽、花瓣等部位的數目竟然正正是 Fibonacci Numbers。其中最經典，甚至 Nixon認為有點被濫用的例子為向日葵的籽的螺旋數目：

34、55、21 皆為Fibonacci Numbers 費波那契數，而且 21＋34＝55。

同時亦被廣泛作使用的例子有松果、菠蘿：

一樣有 Fibonacci Numbers「血統」但較少作為例子的植物：

事實上，花瓣數為 Fibonacci Numbers 的植物其實相當多，以下多舉幾個例子：

我求學時亦曾數過 Dahlia 大理花的花瓣(實物)，不想傷害無辜植物沒有把花瓣摘下來數，很考耐性：

符合費波那契數特徵的植物水果蔬菜尚有很多，蔬果中以 2、3、5 最為常見。

如果我把今期專欄停在此處，以一句「大自然真是奇妙！數學真的很神奇！我們要多珍惜大自然，也要好好學習數學！」之類的正向金句作結，相信會令人感覺不錯，大家可能都會「收貨」。像這種純分享的資訊性文章實在很泛濫。單是類似 ”Fibonacci in Plants” 的文章及影片，不論外語抑或華文我為撰寫這專欄尋找合適的配圖時都看了大量。分享有趣資訊固然好，可若不解釋「為什麼會這樣」，更重要是沒有道明「是不是所有植物是這樣生長」，恐怕是有不足之處。

那麼，是不是所有植物的 莖/葉/籽/瓣 都嚴格遵從這個神秘的大自然法則？原來又不一定。

假如這些 Counter-examples（反例）令你有美好夢想破滅的感覺，不好意思。但是做學問就應當有求真精神。而事實上透過察覺到這些反例，再配合分析和反思，我們反而能更接近這個「大自然神秘規律」的真相 ……

首先給讀者們拋出一個問題：

你認為上述「守規矩」的植物和「不守規矩」的植物特徵的最大分別是？

• -------------------------（下頁是答案，先再看一次例子及自己猜想一下吧～）-------------------------

答案

可分成兩種：（1）螺旋形 不斷往外生長的、（2）放射形 受限地生長/分裂的。

放射形 的可以 Fibonacci 亦可不是，但 螺旋形 的，除非基因突變或後天意外（例如被有情煩惱的少女扯下花瓣來占卜心上人是否都喜歡自己之類）否則都一律按照 Fibonacci Numbers 費波那契數 生長！

親愛的讀者們，假如讀到剛才的答案是你腦中第一個反應是「為什麼？」，我很高興，來讓我們一起尋覓真相。為此我們必需接受幾個 公理（Axioms, 即假定必然正確，以作為演繹及推論的起點）。

花、葉、籽、枝節等植物部位生長的公理：

1.  沿一枝莖向外生長 2.  有先有後非全部同時長出

3.  有某種固定規律而非隨機亂生 4.  盡可能避免重疊

重疊生長會減低光合作用的效率且會跟原來位置的部位搶養分，可以假設會持續重疊生長的植物在漫長的 Natural Selection 中被生長得更有效率的植物淘汰掉。公理 1 2 3 告訴我們植物是以類似「派發卡牌」的形式打圈地逐塊生出花葉枝節，而且每次旋轉的角度為一固定值 θ :

如你所見，只要 θ 能被 360˚（或其倍數）整除，植物的花/葉/籽/枝都總會呈放射狀互相重疊，違反公理 4，可以生長但非最具效率（粟米及果肉只生一層無需優化持續生長效率）。要以單一規律持續生長同時最大限度地避免重疊，生長旋轉角 θ 越「難以被 360˚ 整除」越好，即是 360˚/θ 最好不能寫成任何整數分子分母的分數，正式名稱為有理數（Rational Numbers）。有理數旋轉率是植物持續生長的敵人，那麼 Irrational Numbers 無理數 就是生長界的神隊友，最出名的成員有 𝛑 、√2，而世界上「最無理的無理數」是 𝛗（音：phi），又名 黃金比例數，約為 1.618033989。

目前我們知道了植物生長旋轉率若果是一個無理數的話其持續生長效率就最大。可是 黃金比例數、費波那契數、持續生長效率 三者如何串聯起成為大自然的成長密碼？ 礙於篇幅所限，容我們下回分解。對這類題材有興趣的朋友請密切留意下期 Nixon帶你玩數學 之 大自然的成長密碼（2）！我準備帶更多有趣數學知識和你分享！亦歡迎各位讀者朋友電郵告訴我你的猜想或看法，我會個別回覆之餘也可能會揀出個人認為讀者電郵中特別有意思的演繹及推論轉貼跟大家分享！

希望您都喜歡本期專欄的內容，我們下期再見！

文：nixon chan  圖：網上、nixon 自己拍攝及繪圖

電郵：nixonchanmath@gmail.com

Nixon Chan

• 香港大學數學系榮譽畢業， 十年正式教學經驗
• 曾出版獲獎數學練習，現為英皇教育數學科名師
• 主力教授香港高中數學，兼教國際課程包括 IBDP、GCE(A-level)、SAT
• 教學宗旨為「沒有蠢學生，只有錯方法」，熱衷鑽研「易學且有效」的解題法及計數機程式

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